Giá trị lượng giác của một góc bất kì Học giải


Bài 1. Tính giá trị đúng của các biểu thức sau (không dùng máy tính bỏ túi hoặc bảng số)

a) ((2sin {30^0} + cos {135^0} – 3tan {150^0})(cos {180^0} – cot {60^0}))

b) ({sin ^2}{90^0} + {cos ^2}{120^0} + {cos ^2}{0^0} – {tan ^2}{60^0} + {cot ^2}{135^0}).

Giải

a) Ta có

(eqalign{
& cos {135^0} = cos ({180^0} – {45^0}) = – cos {45^0} = – {{sqrt 2 } over 2} cr
& tan {150^0} = tan ({180^0} – {30^0}) = – tan {30^0} = – {{sqrt 3 } over 3} cr} )

Do đó

(eqalign{
& (2sin {30^0} + cos {135^0} – 3tan {150^0})(cos {180^0} – cot {60^0}) cr
& = left( {1 – {{sqrt 2 } over 2} + sqrt 3 } right),left( { – 1 – {{sqrt 3 } over 3}} right) = left( {{{sqrt 2 } over 2} – sqrt 3 – 1} right)left( {1 + {{sqrt 3 } over 3}} right) cr}.)

b) Ta có

(eqalign{
& cos {120^0} = cos ({180^0} – {60^0}) = – cos {60^0} = – {1 over 2} cr
& cot {135^0} = cot ({180^0} – {45^0}) = – cot {45^0} = – 1 cr} )

Do đó

(eqalign{
& {sin ^2}{90^0} + {cos ^2}{120^0} + {cos ^2}{0^0} – {tan ^2}{60^0} + {cot ^2}{135^0} cr
& = 1 + {1 over 4} + 1 – 3 + 1 = {1 over 4} cr} )

—————————————————–

Bài 2. Đơn giản các biểu thức

a) (sin {100^0} + sin {80^0} + cos {16^0} + cos {164^0});

b) (2sin ({180^0} – alpha )cot alpha  – cos ({180^0} – alpha )tan alpha cot ({180^0} – alpha )) với ({0^0} < alpha  < {90^0}).

Giải

a) Ta có

(eqalign{
& sin {100^0} = sin ({180^0} – {80^0}) = sin {80^0},,,;,,,,cos {164^0} = cos ({180^0} – {16^0}) = – cos {16^0} cr
& Rightarrow ,,,,sin {100^0} + sin {80^0} + cos {16^0} + cos {164^0} cr
& ,,,,, = ,sin {80^0} + sin {80^0} + cos {16^0} – cos {16^0} cr
& ,,,,, = 2sin {80^0}. cr} )

b) Ta có

(eqalign{
& ,,,,2sin ({180^0} – alpha )cot alpha – cos ({180^0} – alpha )tan alpha cot ({180^0} – alpha ) cr
& = 2sin alpha {{cos alpha } over {sin alpha }} – cos alpha {{sin alpha } over {cos alpha }}{{cos alpha } over {sin alpha }} cr
& = 2cos alpha – cos alpha cr
& = cos alpha . cr} )

————————————————–

Bài 3. Chứng minh các hệ thức sau

a) ({sin ^2}alpha  + {cos ^2}alpha  = 1);

b) (1 + {tan ^2}alpha  = {1 over {{{cos }^2}alpha }},,,,,(alpha  ne {90^0}));

c) (1 + {cot ^2}alpha  = {1 over {{{sin }^2}alpha }},,,,,({0^0} < alpha  < {180^0})).

Giải

a) Giả sử (M,(x,;,y)) trên đường tròn đơn vị, (widehat {MOx} = alpha ). Ta có

({sin ^2}alpha  + {cos ^2}alpha  = {x^2} + {y^2} = O{M^2} = 1.)

b) (1 + {tan ^2}alpha  = 1 + {{{{sin }^2}alpha } over {{{cos }^2}alpha }} = {{{{cos }^2}alpha  + {{sin }^2}alpha } over {{{cos }^2}alpha }} = {1 over {{{cos }^2}alpha }},) .

c)  (1 + {cot ^2}alpha  = 1 + {{{{cos }^2}alpha } over {{{sin }^2}alpha }} = {{{{sin }^2}alpha  + {{cos }^2}alpha } over {{{sin }^2}alpha }} = {1 over {{{sin }^2}alpha }},).



Source link