Ôn tập Chương IV: Số phức Học giải


Bài 37. Tìm phần thực, phần ảo của

(a),{left( {2 – 3i} right)^3},;)

(b),{{3 + 2i} over {1 – i}} + {{1 – i} over {3 – 2i}},;)

(c),{left( {x + iy} right)^2} – 2left( {x + iy} right) + 5,,left( {x,y inmathbb R} right).)

Với x,y nào thì số phức đó là số thực?

Giải

(a),{left( {2 – 3i} right)^3} = {2^3} – 3.2.3ileft( {2 – 3i} right) – {left( {3i} right)^3} = 8 – 18ileft( {2 – 3i} right) + 27i =  – 46 – 9i)

Vậy phần thực là (-46), phần ảo là (-9).

(eqalign{  & b),{{3 + 2i} over {1 – i}} = {{left( {3 + 2i} right)left( {1 + i} right)} over 2} = {{1 + 5i} over 2} = {1 over 2} + {5 over 2}i  cr  & {{1 – i} over {3 – 2i}} = {{left( {1 – i} right)left( {3 + 2i} right)} over {13}} = {{5 – i} over {13}} = {5 over {13}} – {1 over {13}}i cr} )

Do đó (,{{3 + 2i} over {1 – i}} + {{1 – i} over {3 – 2i}}, ={1 over 2} + {5 over 2}i +{5 over {13}} – {1 over {13}}i = {{23} over {26}} + {{63} over {26}}i)

Vậy phần thực là ({{23} over {26}}), phần ảo là ({{63} over {26}})

(c),,{left( {x + iy} right)^2} – 2left( {x + iy} right) + 5 = {x^2} – {y^2} – 2x + 5 + 2yleft( {x – 1} right)i)

Vậy phần thực là ({x^2} – {y^2} – 2x + 5), phần ảo là (2yleft( {x – 1} right)).

Số phức đó là số thực khi vào chỉ khi (2yleft( {x – 1} right) = 0 Leftrightarrow y = 0) hoặc (x = 1).

————————————————————-

Bài 38.

Chứng minh rằng (left| z right| = left| {rm{w}} right| = 1) thì số ({{z + {rm{w}}} over {1 + z{rm{w}}}}) là số thực (giả sử (1 + z{rm{w}} ne 0)).

Giải

Ta có (z.overline z  = {left| z right|^2} = 1 Rightarrow overline z  = {1 over z}). Tương tự (overline {rm{w}}  = {1 over {rm{w}}})

Do đó (overline {left( {{{z + {rm{w}}} over {1 + z{rm{w}}}}} right)}  = {{overline z  + overline {rm{w}} } over {1 + overline z .overline {rm{w}} }} = {{{1 over z} + {1 over {rm{w}}}} over {1 + {1 over z}.{1 over {rm{w}}}}} = {{z + {rm{w}}} over {1 + z{rm{w}}}}).

Suy ra ({{z + {rm{w}}} over {1 + z{rm{w}}}}) là số thực.

——————————————————————–

Bài 39. Giải các phương trình sau trên C:

(eqalign{  & a),{left( {z + 3 – i} right)^2} – 6left( {z + 3 – i} right) + 13 = 0;  cr  & b),left( {{{iz + 3} over {z – 2i}}} right)^2 – 3{{iz + 3} over {z – 2i}} – 4 = 0; cr} )

(c),,{left( {{z^2} + 1} right)^2} + {left( {z + 3} right)^2} = 0.)

Giải

a) Đặt ({rm{w}} = z + 3 – i) ta được phương trình:

(eqalign{  & {{rm{w}}^2} – 6{rm{w}}+ 13 = 0 Leftrightarrow {left( {{rm{w}} – 3} right)^2} =  – 4 = 4{i^2}  cr  &  Leftrightarrow left[ matrix{  {rm{w}} = 3 + 2i hfill cr  {rm{w}} = 3 – 2i hfill cr}  right. Leftrightarrow left[ matrix{  z + 3 – i = 3 + 2i hfill cr  z + 3 – i = 3 – 2i hfill cr}  right. Leftrightarrow left[ matrix{  z = 3i hfill cr  z =  – i hfill cr}  right. cr} )

Vậy (S = left{ { – i;3i} right})

b) Đặt ({rm{w}} = {{iz + 3} over {z – 2i}}) ta được phương trình: ({{rm{w}}^2} – 3{rm{w}} – 4 = 0 Leftrightarrow left[ matrix{  {rm{w}} =  – 1 hfill cr {rm{w}} = 4 hfill cr}  right.)

Với ({rm{w}} = -1) ta có ({{iz + 3} over {z – 2i}} =  – 1 Leftrightarrow iz + 3 =  – z + 2i)

( Leftrightarrow left( {i + 1} right)z =  – 3 + 2i Leftrightarrow z = {{ – 3 + 2i} over {1 + i}} = {{left( { – 3 + 2i} right)left( {1 – i} right)} over 2} = {{ – 1 + 5i} over 2})

Với ({rm{w}} = 4) ta có ({{iz + 3} over {z – 2i}} = 4 Leftrightarrow left( {4 – i} right)z = 3 + 8i)

( Leftrightarrow z = {{3 + 8i} over {4 – i}} = {{left( {3 + 8i} right)left( {4 + i} right)} over {17}} = {{4 + 35i} over {17}})

Vậy (S = left{ {{{ – 1 + 5i} over 2};{{4 + 35} over {17}}} right})

(c),{left( {{z^2} + 1} right)^2} + {left( {z + 3} right)^2} = {left( {{z^2} + 1} right)^2} – {left[ {ileft( {z + 3} right)} right]^2})

( = left( {{z^2} + 1 + ileft( {z + 3} right)} right)left( {{z^2} + 1 – ileft( {z + 3} right)} right) = 0)

(Leftrightarrowleft[ matrix{  {z^2} + 1 + ileft( {z + 3} right) = 0,,left( 1 right) hfill cr  {z^2} + 1 – ileft( {z + 3} right) = 0,,,left( 2 right) hfill cr}  right.)

Phương trình (1) là phương trình bậc hai ({z^2} + iz + 1 + 3i = 0);

(Delta  =  – 5 – 12i = {left( {2 – 3i} right)^2})

Phương trình có hai nghiệm là ({z_1} = 1 – 2i) và ({z_2} =  – 1 + i).

Phương trình (2) là phương trình bậc hai ({z^2} – iz + 1 – 3i = 0);

(Delta  =  – 5 + 12i = {left( {2 + 3i} right)^2})

Phương trình có hai nghiệm là ({z_3} = 1 + 2i) và ({z_4} =  – 1 – i)

Vậy (S = left{ {1 – 2i; – 1 + i;1 + 2i; – 1 – i} right})

——————————————————————

Bài 40. Xét các số phức: ({z_1} = sqrt 6  – isqrt 2 ;,,{z_2} =  – 2 – 2i;,,,{z_3} = {{{z_1}} over {{z_2}}})

a) Viết ({z_1};,{z_2};,{z_3}) dưới dạng lượng giác;

b) Từ câu a) hãy tính (cos {{7pi } over {12}}) và (sin {{7pi } over {12}}).

Giải

(eqalign{  & a);;z_1=sqrt 2 left( {sqrt 3  – i} right) = 2sqrt 2 left[ {cos left( { – {pi  over 6}} right) + isin left( { – {pi  over 6}} right)} right],  cr  & {z_2} = 2left( { – 1 – i} right) = 2sqrt 2 left[ {cos left( { – {{3pi } over 4}} right) + isin left( { – {{3pi } over 4}} right)} right],  cr & {z_3} = {{{z_1}} over {{z_2}}} = cos left( { – {pi  over 6} + {{3pi } over 4}} right) + isin left( { – {pi  over 6} + {{3pi } over 4}} right) = cos left( {{{7pi } over {12}}} right) + isin left( {{{7pi } over {12}}} right) cr} )

b) Mặt khác ({{{z_1}} over {{z_2}}} = {{sqrt 6  – isqrt 2 } over { – 2 – 2i}} = {{left( {sqrt 6  – isqrt 2 } right)left( { – 2 + 2i} right)} over 8} = {{ – sqrt 6  + sqrt 2 } over 4} + {{sqrt 6  + sqrt 2 } over 4}i) nên so sánh với kết quả câu a), suy ra:

(cos {{7pi } over {12}} = {{ – sqrt 6  + sqrt 2 } over 4};,sin {{7pi } over {12}} = {{sqrt 6  + sqrt 2 } over 4})

————————————————————-

Bài 41. Cho (z = left( {sqrt 6  + sqrt 2 } right) + ileft( {sqrt 6  – sqrt 2 } right))

a) Viết ({z^2}) dưới dạng đại số và dưới dạng lượng giác;

b) Từ câu a), hãy suy ra dạng lượng giác của z.

Giải

(eqalign{  & a),{z^2} = {left( {sqrt 6  + sqrt 2 } right)^2} – {left( {sqrt 6  – sqrt 2 } right)^2} + 2ileft( {sqrt 6  + sqrt 2 } right)left( {sqrt 6  – sqrt 2 } right)  cr  & ,, = 4sqrt {12}  + 2ileft( {6 – 2} right) = 8sqrt 3  + 8i = 16left( {cos {pi  over 6}+isin {pi  over 6}} right) cr} )

b) Theo ứng dụng 2 của công thức Moa – vrơ, để ý rằng phần thực và phần ảo của z đều dương, suy ra (z = 4left( {cos {pi  over {12}} + isin {pi  over {12}}} right))

——————————————————-

Bài 42

a) Bằng cách biểu diễn hình học các số phức 2 + i và 3 + i, hãy chứng minh rằng nếu (tan a = {1 over 2},,tan b = {1 over 3})với (a,b in left( {0;{pi  over 2}} right)) thì (a + b = {pi  over 4}).

b) Bằng cách biển diễn hình học các số phức 2 + i, 5+ i và 8 + i, hãy chứng minh rằng nếu (tan a = {1 over 2},,tan b = {1 over 5},,tan c = {1 over 8}) với (a,b,c in left( {0;{pi  over 2}} right)) thì (a + b + c = {pi  over 4}).

Giải

Ôn tập Chương IV: Số phức

a) Biểu diễn hình học (2 + i, 3 + i) theo thứ tự bới M và N trong mặt phẳng phức

ta có: (tan left( {Ox,,OM} right) = {1 over 2} = tan a)

(tan left( {Ox,,ON} right) = {1 over 3} = tan b)

Xét (z.z’ = (2 + i).(3 + i) = 5(1 + i) )

(= 5sqrt 2 left( {cos {pi  over 4} + isin {pi  over 4}} right))

Số (zz’) có acgumen là ({{pi  over 4}}), suy ra (a + b = {pi  over 4})

b)

({z_1} = 2 + i) có một acgumen là a với (tan a = {1 over 2})

({z_2} = 5 + i) có một acgumen là b với (tan b = {1 over 5})

({z_3} = 8 + i) có một acgumen là c với (tan c = {1 over 8})

Xét (z = {z_1}{z_2}{z_3} = left( {2 + i} right)left( {5 + i} right)left( {8 + i} right) = 65left( {1 + i} right))

(,,, = 65sqrt 2 left( {{{sqrt 2 } over 2} + i{{sqrt 2 } over 2}} right) = 65sqrt 2 left( {cos {pi  over 4} + isin {pi  over 4}} right))

(z) có acgumen là ({pi  over 4}), suy ra (a + b + c = {pi  over 4})



Source link

Leave a Comment

Your email address will not be published.