Trục tọa độ và hệ trục tọa độ Học giải


Bài 29. Trong mặt phẳng tọa độ, mỗi mệnh đề sau đúng hay sai ?

a) Hai vec tơ (overrightarrow a (26;9)) và (overrightarrow b (9;26)) bằng nhau.

b) Hai vec tơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau.

c) Hai vec tơ đối nhau thì chúng có hoành độ đối nhau.

d) Vec tơ (overrightarrow a ) cùng phương với vec tơ (overrightarrow i ) nếu (overrightarrow a ) có hoành độ bằng 0.

e) Vec tơ (overrightarrow a ) có hoành độ bằng 0 thì nó cùng phương với vec tơ (overrightarrow j ).

Hướng dẫn trả lời

a) Sai                        b) Đúng

c) Đúng                     d) Sai                    e) Đúng

———————————————————————

Bài 30. Tìm tọa độ của các vectơ sau trong mặt phẳng tọa độ

(eqalign{
& overrightarrow a = – overrightarrow i ,;,,,,,,,,,,,,overrightarrow b = 5overrightarrow j ,,;,,,,,,,,,,,,,,,overrightarrow c = 3overrightarrow i – 4overrightarrow j ,; cr
& overrightarrow d = {1 over 2}(overrightarrow j – overrightarrow i ,,,),;,,,,,,,overrightarrow e = 0,15overrightarrow i ,, + 1,3overrightarrow {j,} ,;,,,,,,,,overrightarrow f = pi overrightarrow i ,, – (cos {24^0})overrightarrow {j,} ,.,,,,,,,,,, cr} )

Giải

(overrightarrow a  = (x,,y),, Rightarrow ,overrightarrow a  = xoverrightarrow i  + yoverrightarrow j )

Áp dụng điều trên, ta có

(eqalign{
& overrightarrow a = ( – 1,;,0);,,,,,,,,overrightarrow b = (0,;,5);,,,,,,,,,,,overrightarrow c = (3,;, – 4); cr
& overrightarrow d = ( – {1 over 2},;,{1 over 2});,,,,,,,,,,,,,overrightarrow e = (0,15,;,1,3);,,,,,,,,overrightarrow f = (pi ,;, – cos {24^0}). cr} )

——————————————————-

Bài 31. Cho (overrightarrow a  = (2;1),,overrightarrow b  = (3;4),,overrightarrow c  = (7;2).)

a) Tìm tọa độ của vec tơ (overrightarrow u  = 2overrightarrow a  – 3overrightarrow b  + overrightarrow c ).

b) Tìm tọa độ của vec tơ (overrightarrow x ) sao cho (overrightarrow x  + overrightarrow a  = overrightarrow b  – overrightarrow {c.} )

c) Tìm các số (k,l) để (overrightarrow c  = koverrightarrow a  + loverrightarrow b .)

Giải

a) (overrightarrow u  = 2overrightarrow a  – 3overrightarrow b  + overrightarrow c  = (4, – 9 + 7,;,2 – 12 + 2) = (2,;, – 8)).

b) Ta có

(overrightarrow x  + overrightarrow a  = overrightarrow b  – overrightarrow c ,, Rightarrow ,,overrightarrow x  = overrightarrow b  – overrightarrow c  – overrightarrow a  = (3 – 7 – 2,;,4 – 2 – 1) = ( – 6,;,1).)

c) Ta có

(eqalign{
& overrightarrow c = koverrightarrow a + loverrightarrow b = (2k, + 3l,;,k + 4l) = (7,;,2) Rightarrow ,left{ matrix{
2k + 3l = 7 hfill cr
k + 4l = 2 hfill cr} right.,, Leftrightarrow left{ matrix{
k = 4,4 hfill cr
l = – 0,6 hfill cr} right. cr
& cr} )

——————————————————–

Bài 32.

Cho (overrightarrow u  = {1 over 2}overrightarrow i  – 5overrightarrow j ,,,,overrightarrow v  = koverrightarrow i  – 4overrightarrow j .)

Tìm các giá trị của (k) để hai vec tơ (overrightarrow u ,overrightarrow v ) cùng phương.

Giải

Cho (overrightarrow u  = left( {{1 over 2},;, – 5} right),,,overrightarrow v  = left( {k,;, – 4} right))

Để hai vec tơ (overrightarrow u ,overrightarrow v ) cùng phương thì có số (l) sao cho (overrightarrow v  = loverrightarrow u )

( Leftrightarrow left( {k,;, – 4} right) = left( {{l over 2},;, – 5l} right) Leftrightarrow ,,left{ matrix{
k = {l over 2} hfill cr
– 4 = – 5l hfill cr} right.,, Leftrightarrow left{ matrix{
k = {2 over 5} hfill cr
l = {4 over 5} hfill cr} right.)

Vậy với (k = {2 over 5}) thì (overrightarrow u ,overrightarrow v )  cùng phương.

———————————————————-

Bài 33. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?

a) Tọa độ của điểm (A) bằng tọa độ của vec tơ (overrightarrow {OA} ), với (O) là gốc tọa độ.

b) Hoành độ của một điểm bằng (0) thì điểm đó nằm trên trục hoành.

c) Điểm (A) nằm trên trục tung thì (A) có hoành đô bằng (0).

d) (P) là trung điểm của đoạn thẳng (AB) khi và chỉ khi hoành độ điểm (P) bằng trung bình cộng các hoành độ của hai điểm (A) và (B).

e) Tứ giác (ABCD) là hình bình hành khi và chỉ khi ({x_A} + {x_C} = {x_B} + {x_D}) và ({y_A} + {y_C} = {y_B} + {y_D}).

Giải

a) Đúng.

b) Sai vì hoành độ của một điểm bằng 0 thì điểm đó nằm trên trục tung.

c) Đúng.

d) Sai vì (P) là trung điểm của đoạn thẳng (AB) khi và chỉ khi hoành độ điểm (P) bằng trung bình cộng các  hoành độ của hai điểm (A) và (B); tung độ điểm (P) bằng trung bình cộng các  tung độ của hai điểm (A) và (B).

e) Đúng vì tứ giác (ABCD) là hình bình hành

( Leftrightarrow ,,I) vừa là trung điểm của (AC), vừa là trung điểm của (BD)

( Leftrightarrow ,,left{ matrix{
2{x_I} = {x_A} + {x_C} = {x_B} + {x_D} hfill cr
2{y_I} = {y_A} + {y_C} = {y_B} + {y_D} hfill cr} right.)

—————————————————

Bài 34. Trong mặt phẳng tọa độ, cho ba điểm (A( – 3;4),,,B(1;1),,,C(9; – 5).)

a) Chứng minh ba điểm (A, B, C) thẳng hàng.

b) Tìm tọa độ điểm (D) sao cho (A) là trung điểm của (BD).

c) Tìm tọa độ điểm (E) trên trục (Ox) sao cho (A, B, E) thẳng hàng.

Giải

a) Ta có

(,,,left. matrix{
overrightarrow {AB} = (1 + 3,;,1 – 4) = (4,;, – 3) hfill cr
overrightarrow {AC} = (9 + 3,;, – 5 – 4) = (12,;, – 9) hfill cr} right}, Rightarrow ,overrightarrow {AC} , = 3overrightarrow {AB} )

Vậy ba điểm (A, B, C) thẳng hàng.

b) Gọi (D,({x_D},;,{y_D})). Do (A) là trung điểm của (BD) nên ta có

(left{ matrix{
{x_A} = {{{x_B} + {x_D}} over 2} hfill cr
{y_A} = {{{y_B} + {y_D}} over 2} hfill cr} right.,, Leftrightarrow left{ matrix{
– 3 = {{1 + {x_D}} over 2} hfill cr
4 = {{1 + {y_D}} over 2} hfill cr} right.,, Leftrightarrow left{ matrix{
{x_D} = – 7 hfill cr
{y_D} = 7 hfill cr} right.)

Vậy (D( – 7,;,7)).

c) Gọi (E,({x_E},;,0)) trên trục (Ox) sao cho (A, B, E) thẳng hàng.

Do đó có số (k) thỏa mãn (overrightarrow {AE}  = koverrightarrow {AB} )

(eqalign{
& overrightarrow {AB} = left( {4,;, – 3} right),;,,overrightarrow {AE} = left( {{x_E} + 3,;, – 4} right) cr
& Rightarrow ,,left{ matrix{
{x_E} + 3 = 4k hfill cr
– 4 = – 3k hfill cr} right.,, Rightarrow ,left{ matrix{
k = {4 over 3} hfill cr
{x_E} = {7 over 3} hfill cr} right.,,, Rightarrow ,E,left( {{7 over 3},;,0} right), cr} )

—————————————————-

Bài 35. Cho điểm (M(x,;y).) Tìm tọa độ của các điểm

a) ({M_1}) đối xứng với (M) qua trục (Ox).

b) ({M_2}) đối xứng với (M) qua trục (Oy).

c) ({M_3}) đối xứng với (M) qua gốc tọa độ (O).

Giải

a) ({M_1}(x,;, – y);)

b) ({M_2}( – x,;,y);)

c) ({M_3}( – x,;, – y).)

——————————————————-

Bài 36. Trong mặt phẳng tọa độ, cho ba điểm (A( – 4,;1),,,B(2,;4),,,C(2,; – 2).)

a) Tìm tọa độ của trọng tâm tam giác (ABC).

b) Tìm tọa độ điểm (D) sao cho (C) là trọng tâm tam giác (ABD).

c)  Tìm tọa độ điểm (E) sao cho (ABCE) là hình bình hành.

Giải

a) Gọi (G) là trọng tâm tam giác (ABC), ta có

(eqalign{
& left{ matrix{
{x_G} = {1 over 3}({x_A} + {x_B} + {x_C}) = {1 over 3}( – 4 + 2 + 2) = 0 hfill cr
{y_G} = {1 over 3}({y_A} + {y_B} + {y_C}) = {1 over 3}(1 + 4 – 2) = 1 hfill cr} right.,, cr
& Rightarrow ,,G,(0,;,1). cr} )

b) Gọi (D,({x_{D,}},;,{y_D}))  sao cho (C) là trọng tâm tam giác (ABD). Ta có

(eqalign{
& left{ matrix{
{x_C} = {1 over 3}({x_A} + {x_B} + {x_D}) hfill cr
{y_C} = {1 over 3}({y_A} + {y_B} + {y_D}) hfill cr} right.,, Rightarrow left{ matrix{
2 = {1 over 3}( – 4 + 2 + {x_D}) hfill cr
– 2 = {1 over 3}(1 + 4 + {y_D}) hfill cr} right. cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Rightarrow ,left{ matrix{
{x_D} = 8 hfill cr
{y_D} = – 11 hfill cr} right. cr
& Rightarrow ,,D,(8,;, – 11) cr} )

c) Gọi (E({x_E},;,{y_E})) sao cho (ABCE) là hình bình hành. Ta có

(eqalign{
& overrightarrow {AB} = overrightarrow {EC} ,,,, Leftrightarrow ,,(6,;,3) = (2 – {x_E},;, – 2 – {y_E}) cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,left{ matrix{
{x_E} = – 4 hfill cr
{y_E} = – 5 hfill cr} right. cr
& Rightarrow ,,E,( – 4,;, – 5). cr} )



Source link